Jembatan Königsberg

-->

Gerimis dihari senin di kota Samsun. Memilih melanjutkan memposting tulisan di blog dibandingkan menikmati suasana di pusat kota. Kali ini ingin sengaja mengambil topik yang sedikit nyeleneh, karena mungkin tidak semua orang pernah dengar topik yang akan saya tuliskan ini. Mengapa saya menulis tentang Jembatan Königsberg, sebenarnya terinspirasi dari satu contoh kasus yang menjadi latar belakang misteri dalam manga Q.E.D (Quad Erat Demonstrandum). Sekedar untuk berbagi pengetahuan yang menjadi misteri matematika unik, setelah hampir 200 tahun tanpa solusi. 

Tujuh Jembatan Königsberg, merupakan salah satu problema matematika historikal-klasik yang diklaim tidak akan menemui solusi. Jembatan-jembatan ini terdapat di kota Königsberg, Rusia. Dikota tersebut terdapat sungai besar Pregel River yang membelah dua wilayah daratan, sehingga terdapat banyak jembatan untuk memudahkan akses ke wilayah-wilayah lainnya. Problema matematika unik yang diajukan adalah bagaimana caranya menyebrangi jembatan-jembatan tersebut, dari satu titik ke titik lainnya tanpa pernah menyebrangi jembatan yang sama untuk kedua kalinya atau dengan kata lain seperti menggambar suatu bangun datar tanpa pernah menggoreskan garis yang sama untuk kali kedua. Hmm...ada yang mau mencoba? berikut topografi petanya, warna biru merupakan aliran sungainya dan warna hijau adalah jembatan-jembatannya. Ambil titik dimana saja untuk memulainya, kemudian buat suatu alur melewati jembatan-jembatan tersebut sampai semua jembatan terlewati tetapi jangan melewati jembatan yang sama untuk kali kedua. Bagaimana?

 

Jembatan Königsberg

Pastinya anda tidak akan pernah berhasil menyebrangi semua jembatan tanpa melewati jembatan yang sama dua kali. Konklusi negatif yang sama pada tahun 1735 sudah disampaikan oleh matematikawan Leonhard Euler. Problema ini juga yang menjadi landasan berkembangnya disiplin ilmu Topografi dan Teori grafika. 

Euler berpendapat bahwa problema ini tidak akan menghasilkan solusi. Ia menyederhanakan topografi Jembatan Königsberg  ini menjadi salah satu struktur matematika yang dikenal dengan grafik. Berikut merupakan penjelasan secara visualnya. 

  

Topografi kota

Penyederhanaan awal

Penyederhanaan dalam bentuk grafik
node = wilayah daratan
garis = jembatan

Penjelasan Euler melalui grafik yang telah disederhanakan adalah sebagai berikut, untuk menyebrangi seluruh jembatan sebagaimana problema jembatan Königsberg, diibaratkan seperti menggambar garis, dimulai dari satu titik menuju titik lainnya namun tidak boleh menggambar garis ditempat yang sama untuk kali kedua. Tentu saja dengan 7 jembatan, atau dalam hal ini tujuh garis dengan 4 titik tidak akan pernah menghasilkan solusi. Kesimpulan umum yang dihasilkan dari hasil kerja Euler yang dipublikasikan dalam Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (The solution of a problem relating to the geometry of position), adalah jika terdapat paling tidak 2 titik yang memuat atau terhubung oleh garis yang jumlahnya ganjil (3,5,...) maka tidak akan mungkin dihasilkan solusi untuk menghubungkan semua titik dengan garis tanpa mengulang suatu garis yang sama. Saat ini telah banyak variasi yang digunakan untuk menguji teori ini.

Dalam sejarah matematika, solusi negatif Euler dikenal sebagai teori pertama untuk kasus Teori Grafik. Dewasa ini disiplin ilmu ini dikenal dengan istilah kombinatorika, mungkin bersama-sama dengan statistika dalam perkembangannya.

Kembali ke kasus Jembatan Königsberg, apakah ada solusi positifnya?yaitu apakah ada cara untuk menyebrangi sungai melalui 7 jembatan tersebut tanpa melewati jembatan yang sama lagi. Jawabannya sedikit memainkan logika, dan jawabannya ada. Berikut ini penjelasannya, bayangkan bahwa sungai tersebut berawal dari satu titik mata air, nun jauh dipegunungan. Logika kita pasti membenarkan, pastinya sumber mata airnya ada disuatu tempat. Nah, jika kita mengambil jalan memutari sumber mata air sungai tersebut, tanpa harus menyebrangi sungai kita akan bisa melewati semua jembatan tanpa mengulangi melewati jembatan yang sama dua kali. Mungkin ilustrasi berikut bisa menjadi jawaban.

        Solusi Jembatan Königsberg

Menjadi pelajaran bagi kita bahwa banyak hal disekitar kita, jika kita renungkan secara seksama bisa mengantarkan kita kepada rahasia-rahasia alam raya. Telah banyak kita ketahui hal-hal kecil telah menginspirasi banyak orang besar, ilmuwan-ilmuwan terdahulu untuk mengukir di dinding sejarah pengetahuan manusia, sebut saja Newton yang terinspirasi oleh buah apel yang jatuh yang kemudian mengemukakan teori Gravitasi, Archimedes yang sewaktu mandi, mendapatkan ide tentang keadaan zat di dalam cairan. Ilmuwan-ilmuwan muslim juga banyak mengawali penemuan besar serupa, karena mengamati hal-hal kecil, dan terus merenungkannya, bahwa pada akhirnya tidak ada hal yang dicipatkan oleh Allah SWT di alam raya ini dengan sia-sia, semua punya makna, untuk manusia mengambil pelajaran.